Μετάφραση για το Νόστιμον Ήμαρ: Afterwords
Οι φιλόσοφοι που επηρέασε προετοίμασαν το έδαφος για την τεχνολογική επανάσταση που ξαναέφτιαξε τον κόσμο μας.
Συνήθως αφηγούμαστε την ιστορία των ηλεκτρονικών υπολογιστών ως μια ιστορία αντικειμένων, από τον άβακα και τη διαφορική μηχανή του Μπάμπατζ έως τις μηχανές αποκωδικοποίησης του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου. Για την ακρίβεια, γίνεται περισσότερο κατανοητή ως ιστορία των ιδεών, κυρίως ιδεών που αναδύθηκαν από τη μαθηματική λογική, μια σκοτεινή και εν είδει λατρείας επιστήμη που πρωτοαναπτύχθηκε στον 19ο αιώνα. Η μαθηματική λογική εγκαινιάστηκε από φιλοσόφους-μαθηματικούς, ιδιαιτέρως από τον Τζορτζ Μπουλ και τον Γκότλομπ Φρέγκε, οι οποίοι εμπνεύστηκαν από το όνειρο του Λάιμπνιτς για μια καθολική «γλώσσα εννοιών» και το αρχαίο λογικό σύστημα του Αριστοτέλη.
Η μαθηματική λογική θεωρήθηκε αρχικά ως ένα απελπιστικά αφηρημένο θέμα χωρίς καταληπτές εφαρμογές. Όπως σχολίαζε ένας επιστήμονας της πληροφορικής: «Αν το 1901 ένας ταλαντούχος και συμπονετικός ξένος είχε κληθεί να ερευνήσει τις επιστήμες και να ονομάσει τον κλάδο εκείνο που θα ήταν λιγότερο καρποφόρος μέσα στον επόμενο αιώνα, η επιλογή του ενδεχομένως να είχε καταλήξει στη μαθηματική λογική». Και όμως, επρόκειτο να αποτελέσει το θεμέλιο για ένα πεδίο που θα είχε μεγαλύτερο αντίκτυπο στον σύγχρονο κόσμο από οποιοδήποτε άλλο.
Η εξέλιξη της επιστήμης των υπολογιστών από τη μαθηματική λογική κορυφώθηκε τη δεκαετία του ’30 με δύο εργασίες-ορόσημα. Α Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits του Κλοντ Σάνον και On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem του Άλαν Τούρινγκ. Στην ιστορία της επιστήμης των υπολογιστών, ο Σάνον και ο Τούρινγκ είναι ανυπέρβλητοι, αλλά η σημασία των φιλοσόφων και των επιστημόνων της λογικής που προηγούνται αυτών συχνά παραβλέπεται.
Μια γνωστή ιστορία της επιστήμης των υπολογιστών περιγράφει την εργασία του Σάνον ως «ίσως την πιο σημαντική, αλλά και την πιο γνωστή, μεταπτυχιακή διατριβή του αιώνα». Ο Σάνον την έγραψε όταν ήταν ακόμη φοιτητής ηλεκτρολογίας στο MIT. Ο σύμβουλός του, Βάνεβαρ Μπους, δημιούργησε έναν πρωτότυπο υπολογιστή γνωστό ως Δαφορικό Αναλυτή που μπορούσε να υπολογίσει γρήγορα διαφορικές εξισώσεις. Η συσκευή ήταν ως επί το πλείστον μηχανική, με υποσυστήματα ελεγχόμενα από ηλεκτρικά ρελέ, τα οποία οργανώθηκαν ad hoc, καθώς δεν υπήρχε ακόμα μια συστηματική θεωρία πίσω από τον σχεδιασμό κυκλωμάτων. Το θέμα της διατριβής του Σάνον προέκυψε όταν ο Μπους του συνέστησε να προσπαθήσει να ανακαλύψει μια τέτοια θεωρία.
Η εργασία του Σάνον είναι σε μεγάλο βαθμό μια κλασική εργασία ηλεκτρολογίας γεμάτη με εξισώσεις και διαγράμματα ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Αυτό που είναι ασυνήθιστο είναι ότι η κύρια βιβλιογραφική αναφορά ήταν ένα 90ετές έργο της φιλοσοφίας των μαθηματικών, Οι Νόμοι της Σκέψης του Τζορτζ Μπουλ.
Σήμερα, το όνομα του Μπουλ είναι γνωστό στους επιστήμονες υπολογιστών (πολλές γλώσσες προγραμματισμού έχουν έναν βασικό τύπο δεδομένων που ονομάζεται Boolean), αλλά το 1938 σπάνια αποτελούσε ανάγνωσμα έξω από τα τμήματα φιλοσοφίας. Ο ίδιος ο Σάνον ήρθε σε επαφή με το έργο του Μπουλ σε ένα προπτυχιακό μάθημα φιλοσοφίας. «Συνέβη ότι κανένας άλλος δεν ήταν εξοικειωμένος με τα δύο αυτά πεδία ταυτόχρονα», σχολίαζε αργότερα.
Ο Μπουλ συχνά περιγράφεται ως μαθηματικός, αλλά ο ίδιος έβλεπε τον εαυτό του ως φιλόσοφο, που ακολουθεί τα βήματα του Αριστοτέλη. Οι Νόμοι της Σκέψης ξεκινούν με μια περιγραφή των στόχων του, ήτοι να ερευνήσει τους θεμελιώδεις νόμους της λειτουργίας του ανθρώπινου νου:
Ο σχεδιασμός της ακόλουθης πραγματείας είναι να διερευνηθούν οι θεμελιώδεις νόμοι των λειτουργιών του νου με τις οποίες εκτελείται ο συλλογισμός. Να εκφραστούν αυτοί στη συμβολική γλώσσα ενός Λογισμού και πάνω σε αυτό το θεμέλιο να εδραιωθεί η επιστήμη της Λογικής … και, τέλος, να συλλεχθούν … πιθανές υποδείξεις σχετικά με τη φύση και τη σύσταση του ανθρώπινου νου.
Στη συνέχεια, αποτίει φόρο τιμής στον Αριστοτέλη, τον εφευρέτη της λογικής, και την πρωταρχική επιρροή στο δικό του έργο:
Στην αρχαία και σχολαστική του μορφή, το θέμα της Λογικής είναι σχεδόν αποκλειστικά συνδεδεμένο με το μεγάλο όνομα του Αριστοτέλη. Όπως παρουσιάστηκε στην αρχαία Ελλάδα στις εν μέρει τεχνικές, εν μέρει μεταφυσικές προσεγγίσεις στο Όργανον, με ελάχιστες ουσιαστικές αλλαγές, συνεχίζει μέχρι και σήμερα.
Η προσπάθεια να βελτιωθεί το λογικό έργο του Αριστοτέλη ήταν μια διανοητικά τολμηρή κίνηση. Η λογική του Αριστοτέλη, που παρουσιάστηκε στο εξάτομο βιβλίο του Όργανον, κατέλαβε κεντρική θέση στον επιστημονικό κανόνα για περισσότερα από 2.000 χρόνια. Ήταν ευρέως διαδεδομένο ότι ο Αριστοτέλης είχε γράψει σχεδόν όλα όσα έπρεπε να πει κανείς για το θέμα. Ο μεγάλος φιλόσοφος Ιμμάνουελ Καντ σχολίασε ότι, από την εποχή του Αριστοτέλη, η λογική «δεν μπόρεσε να κάνει ούτε βήμα μπροστά και ως εκ τούτου φαίνεται να έχει τελειώσει και ολοκληρωθεί».
Η κεντρική παρατήρηση του Αριστοτέλη ήταν ότι τα επιχειρήματα ήταν έγκυρα ή δεν βασίζονταν στη λογική δομή τους, ανεξάρτητα από τις μη λογικές λέξεις που ενδέχεται να περιέχονταν. Το πιο διάσημο σχήμα επιχειρηματολογίας που μελέτησε είναι γνωστό ως ο συλλογισμός:
Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί.
Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος.
Άρα ο Σωκράτης είναι θνητός.
Μπορείτε να αντικαταστήσετε το «Σωκράτης» με οποιοδήποτε άλλο αντικείμενο και το «θνητός» με οποιοδήποτε άλλο κατηγόρημα και το επιχείρημα παραμένει έγκυρο. Η εγκυρότητα του επιχειρήματος καθορίζεται αποκλειστικά από τη λογική δομή. Οι λογικές λέξεις – «όλοι», «είναι» και «άρα»- κάνουν όλη τη δουλειά.
Ο Αριστοτέλης όρισε επίσης ένα σύνολο βασικών αξιωμάτων από το οποίο προήλθε το υπόλοιπο λογικό του σύστημα:
Ένα αντικείμενο είναι αυτό που είναι (αρχή της ταυτότητας)
Ένας ισχυρισμός δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής (αρχή της μη–αντίφασης)
Ένας ισχυρισμός είναι είτε αληθής είτε ψευδής (νόμος του εξαιρούμενου μέσου)
Αυτά τα αξιώματα δεν προορίζονταν να περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι πραγματικά σκέφτονται (αυτό εμπίπτει στο πεδίο της ψυχολογίας), αλλά πώς πρέπει να σκέφτεται ένας εξιδανικευμένος, απόλυτα ορθολογικός άνθρωπος.
Η αξιωματική μέθοδος του Αριστοτέλη επηρέασε ένα ακόμα πιο διάσημο βιβλίο, τα Στοιχεία του Ευκλείδη, το οποίο εκτιμάται ότι είναι δεύτερο σε επανεκδόσεις μετά τη Βίβλο.
Απόσπασμα από τα Στοιχεία (Wikimedia Commons)
Παρόλο που φαινομενικά σχετίζονται με τη γεωμετρία, τα Στοιχεία έγιναν ένα βασικό εγχειρίδιο για τη διδασκαλία του αυστηρού παραγωγικού συλλογισμού. (Ο Αβραάμ Λίνκολν είπε κάποτε ότι έμαθε την ορθή νομική επιχειρηματολογία μελετώντας τον Ευκλείδη.) Στο σύστημα του Ευκλείδη οι γεωμετρικές ιδέες εκπροσωπούνταν ως χωρικά διαγράμματα. Η γεωμετρία συνέχισε να ασκείται με τον τρόπο αυτό έως ότου ο Ρενέ Ντεκάρτ, περί τα 1630, έδειξε ότι η γεωμετρία θα μπορούσε αντιθέτως να εκφραστεί με τύπους. Το έργο του Λόγος περί της μεθόδου ήταν το πρώτο μαθηματικό κείμενο στη Δύση που διέδωσε τη χρήση των γνωστών σήμερα αλγεβρικών συμβόλων – x, y, z ως μεταβλητές, α, β, γ ως γνωστές ποσότητες κ.ο.κ.
Η άλγεβρα του Ντεκάρτ επέτρεψε στους μαθηματικούς να προχωρήσουν πέρα από τις χωρικές διαισθήσεις στο χειρισμό συμβόλων χρησιμοποιώντας ακριβώς ορισμένους τυπικούς κανόνες. Αυτό μετατόπισε τον κυρίαρχο τρόπο των μαθηματικών από τα διαγράμματα στους τύπους, οδηγώντας, μεταξύ άλλων, στην ανάπτυξη του λογισμού, που εφευρέθηκε περίπου 30 χρόνια μετά τον Ντεκάρτ, από τους -ανεξάρτητα μεταξύ τους- Ισαάκ Νεύτωνα και Γκότφριντ Λάιμπνιτς.
Ο στόχος του Μπουλ ήταν να κάνει για την αριστοτελική λογική ό,τι είχε κάνει ο Ντεκάρτ για την Ευκλείδεια γεωμετρία: να την απαλλάξει από τα όρια της ανθρώπινης διαίσθησης δίνοντάς της μια ακριβή αλγεβρική σημειογραφία. Για να δώσουμε ένα απλό παράδειγμα, όταν ο Αριστοτέλης έγραφε:
Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί.
Ο Μπουλ αντικατέστησε τις λεξεις «άνθρωποι» και «θνητοί» με μεταβλητές και τις λογικές λέξεις «όλοι» και «είναι»» με αριθμητικούς τελεστές:
x = x * y
Το οποίο μπορεί να ερμηνευτεί ως «Όλα τα στοιχεία στο σύνολο x ανήκουν επίσης στο σύνολο y».
Οι Νόμοι της Σκέψης δημιούργησαν ένα νέο επιστημονικό πεδίο – τη μαθηματική λογική – που στα επόμενα χρόνια έγινε ένας από τους πιο δραστήριους τομείς έρευνας για τους μαθηματικούς και τους φιλοσόφους. Ο Μπέρτραντ Ράσελ ονόμασε τους Νόμους της Σκέψης «το έργο στο οποίο ανακαλύφθηκαν τα καθαρά μαθηματικά».
Η ιδέα του Σάνον ήταν ότι το σύστημα του Μπουλ θα μπορούσε να χαρτογραφηθεί απευθείας σε ηλεκτρικά κυκλώματα. Την εποχή εκείνη, τα ηλεκτρικά κυκλώματα δεν είχαν μια συστηματική θεωρία που να διέπει τον σχεδιασμό τους. Ο Σάνον συνειδητοποίησε ότι η σωστή θεωρία θα ήταν «ακριβώς ανάλογη με τον λογισμό των προτάσεων που χρησιμοποιούνται στη συμβολική μελέτη της λογικής».
Έδειξε την αντιστοιχία μεταξύ των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και των λειτουργιών του Μπουλ σε ένα απλό διάγραμμα:
Αυτή η αντιστοιχία επέτρεψε στους επιστήμονες υπολογιστών να εισάγουν δεκαετίες εργασίας στη λογική και τα μαθηματικά από τον Μπουλ και τους επόμενους επιστήμονες της λογικής. Στο δεύτερο μισό της εργασίας του, ο Σάνον έδειξε πώς η λογική του Μπουλ θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργηθεί ένα κύκλωμα για την προσθήκη δύο δυαδικών ψηφίων.
Με τη σύζευξη αυτών των κυκλωμάτων αθροιστή, θα μπορούσαν να κατασκευαστούν αυθαίρετα πολύπλοκες αριθμητικές πράξεις. Αυτά τα κυκλώματα θα γίνουν τα βασικά δομικά στοιχεία αυτών που σήμερα είναι γνωστά ως αριθμητικές και λογικές μονάδες, ένα βασικό στοιχείο στους σύγχρονους υπολογιστές.
Ένας άλλος τρόπος να χαρακτηρίσουμε το επίτευγμα του Σάνον είναι ότι ήταν ο πρώτος που διακρίνει μεταξύ του λογικού και φυσικού επιπέδου των υπολογιστών. (Η διάκριση αυτή έχει γίνει τόσο θεμελιώδης για την επιστήμη των υπολογιστών, που μπορεί να φανεί εκπληκτικό στους σύγχρονους αναγνώστες πόσο διορατική ήταν εκείνη την εποχή – μια υπενθύμιση του γνωμικού ότι «η φιλοσοφία ενός αιώνα είναι η κοινή λογική του επόμενου»).
Από την εποχή που ο Σάνον έγραψε την εργασία του έχει σημειωθεί τεράστια πρόοδος στο φυσικό επίπεδο των υπολογιστών, συμπεριλαμβανομένης της εφεύρεσης του τρανζίστορ το 1947 από τον Γουίλιαμ Σόκλι και τους συναδέλφους του στο Bell Labs. Τα τρανζίστορ είναι εντυπωσιακά βελτιωμένες εκδόσεις των ηλεκτρικών ηλεκτρονόμων του Σάνον – ο πιο γνωστός τρόπος για την κωδικοποίηση των φυσικών λειτουργιών του Μπουλ. Κατά τα επόμενα 70 χρόνια, η βιομηχανία ημιαγωγών συσκεύασε όλο και περισσότερα τρανζίστορ σε μικρότερους χώρους. Ένα iPhone 2016 έχει περίπου 3,3 δισεκατομμύρια τρανζίστορ, το καθένα ένα «ρελέ διακόπτη», όπως αυτά που απεικονίζονται στα διαγράμματα του Σάνον.
Ενώ ο Σάνον έδειξε πώς να χαρτογραφήσουμε τη λογική πάνω στον φυσικό κόσμο, ο Τούρινγκ έδειξε πώς να σχεδιάσουμε υπολογιστές στη γλώσσα της μαθηματικής λογικής. Όταν ο Τούρινγκ έγραφε την εργασία του το 1936 προσπαθούσε να λύσει το «πρόβλημα απόφασης», το οποίο προσδιορίστηκε αρχικά από τον μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ, ο οποίος ρώτησε αν υπήρχε αλγόριθμος που θα μπορούσε να καθορίσει εάν ένας αυθαίρετος μαθηματικός ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής. Σε αντίθεση με την εργασία του Σάνον, αυτή του Τούρινγκ είναι εξαιρετικά τεχνική. Η πρωταρχική ιστορική σημασία της δεν έγκειται στην απάντησή της στο πρόβλημα απόφασης, αλλά στο πρότυπο για τον σχεδιασμό ηλεκτρονικών υπολογιστών που παρέδωσε στην πορεία.
Ο Τούρινγκ εργάστηκε βάσει μιας παράδοσης που ανάγεται πίσω στον Γκότφριντ Λάιμπνιτς, τον φιλοσοφικό γίγαντα που ανέπτυξε λογισμό ανεξάρτητα από τον Νεύτωνα. Μεταξύ των πολλών συμβολών του Λάιμπνιτς στη σύγχρονη σκέψη, μια από τις πιο ενδιαφέρουσες ήταν η ιδέα μιας νέας γλώσσας που ονομάζεται «καθολικό χαρακτηριστικό» που, όπως φανταζόταν, θα μπορούσε να αντιπροσωπεύσει όλες τις πιθανές μαθηματικές και επιστημονικές γνώσεις. Εμπνευσμένος εν μέρει από τον θρησκευτικό φιλόσοφο Ραμόν Λιουλ του 13ου αιώνα, ο Λάιμπνιτς ισχυρίστηκε ότι η γλώσσα θα ήταν ιδεογραφική όπως τα αιγυπτιακά ιερογλυφικά, εκτός από τους χαρακτήρες που αντιστοιχούσαν σε «ατομικές» έννοιες των μαθηματικών και των επιστημών. Υποστήριξε ότι αυτή η γλώσσα θα έδινε στην ανθρωπότητα ένα «όργανο» που θα μπορούσε να ενισχύσει την ανθρώπινη λογική «σε πολύ μεγαλύτερη έκταση από τα οπτικά όργανα» όπως το μικροσκόπιο και το τηλεσκόπιο.
Επίσης, φαντάστηκε μια μηχανή που θα μπορούσε να επεξεργαστεί τη γλώσσα, την οποία ονόμασε calculus ratiocinator.
Εάν επρόκειτο να προκύψουν διαφωνίες, δεν θα υπήρχε περισσότερη ανάγκη διαμάχης μεταξύ δύο φιλοσόφων από ό,τι μεταξύ δύο λογιστών. Γιατί θα αρκούσε να πάρουν τα μολύβια στα χέρια τους και να πουν ο ένας στον άλλο: Calculemus-Ας υπολογίσουμε.
Ο Λάιμπνιτς δεν είχε την ευκαιρία να αναπτύξει την καθολική γλώσσα του ή την αντίστοιχη μηχανή (αν και εφηύρε μια σχετικά απλή υπολογιστική μηχανή, γνωστή ως stepped reckoner). Η πρώτη αξιόπιστη προσπάθεια να πραγματοποιηθεί το όνειρο του Λάιμπνιτς ήρθε το 1879, όταν ο Γερμανός φιλόσοφος Γκότλομπ Φρέγκε δημοσίευσε την πραγματεία του στη λογική Begriffsschrift, που αποτέλεσε ορόσημο. Εμπνευσμένος από την προσπάθεια του Μπουλ να βελτιώσει τη λογική του Αριστοτέλη, ο Φρέγκε ανέπτυξε ένα πολύ πιο προηγμένο λογικό σύστημα. Η λογική που διδάσκεται στα μαθήματα φιλοσοφίας και επιστήμης της πληροφορικής σήμερα-κατηγορηµατική ή πρώτης τάξης λογικής- είναι μόνο μια μικρή τροποποίηση του συστήματος του Φρέγκε.
Ο Φρέγκε θεωρείται γενικά ένας από τους σημαντικότερους φιλόσοφους του 19ου αιώνα. Μεταξύ άλλων, του χρωστάμε ότι λειτούργησε σαν καταλύτης για αυτό που ο γνωστός φιλόσοφους Ρίτσαρντ Ρόρτι αποκαλούσε «γλωσσική στροφή» στη φιλοσοφία. Καθώς η φιλοσοφία του Διαφωτισμού είχε εμμονή με τα ερωτήματα περί γνώσης, η φιλοσοφία μετά τον Φρέγκε απέκτησε εμμονή με τα ερωτήματα περί γλώσσας. Στους μαθητές του συμπεριλαμβάνονταν δύο από τους σημαντικότερους φιλόσοφους του 20ού αιώνα – ο Μπέρτραντ Ράσελ και ο Λούντβιχ Βιτγκενστάιν.
Η βασική καινοτομία στη λογική του Φρέγκε είναι ότι αντιπροσώπευε πολύ περισσότερο την λογική δομή της απλής γλώσσας. Μεταξύ άλλων, ο Φρέγκε ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε ποσοδείκτες («για κάθε», «υπάρχει») και ο πρώτος που διέκρινε μεταξύ αντικειμένων και κατηγορημάτων. Ήταν επίσης ο πρώτος που ανέπτυξε τις θεμελιώδεις σήμερα έννοιες στην επιστήμη των υπολογιστών, όπως είναι οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις και μεταβλητές με πεδίο εφαρμογής και δέσμευση.
Η τυπική γλώσσα του Φρέγκε – αυτό που αποκαλούσε «εννοιογραφία» (Begriffsschrift) – αποτελείται από σύμβολα χωρίς νόημα τα οποία εμπίπτουν σε σαφώς καθορισμένους κανόνες. Η γλώσσα αποκτά νόημα μόνο χάρη σε μια ερμηνεία, η οποία ορίζεται ξεχωριστά (αυτή η διάκριση θα ονομαστεί αργότερα σύνταξη έναντι σημασιολογίας). Αυτό μετέτρεψε σε λογική αυτό που οι διαπρεπείς επιστήμονες υπολογιστών Άλλεν Νιούελ και Χέρμπερτ Σάιμον ονόμαζαν «το παιχνίδι συμβόλων», «που παιζόταν με ανούσια σημεία σύμφωνα με ξεκάθαρα ορισμένους συντακτικούς κανόνες».
Όλα τα νοήματα είχαν εξαγνιστεί. Κανείς είχε ένα μηχανικό σύστημα για το οποίο μπορούσαν να αποδειχθούν διάφορα πράγματα. Συνεπώς, η πρόοδος έγινε πρώτα με το να απομακρυνθεί από όλα όσα φαινόταν σχετικά με το νόημα και τα ανθρώπινα σύμβολα.
Όπως είπε ο Μπέρτραντ Ράσελ: «Τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το θέμα στο οποίο δεν γνωρίζουμε ποτέ για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αληθινό».
Μια απροσδόκητη συνέπεια του έργου του Φρέγκε ήταν η ανακάλυψη αδυναμιών στα θεμέλια των μαθηματικών. Για παράδειγμα, τα Στοιχεία του Ευκλείδη – που θεωρούνταν ο χρυσός κανόνας της λογικής αυστηρότητας για χιλιάδες χρόνια – αποδείχθηκαν γεμάτα λογικά λάθη. Επειδή ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε καθημερινές λέξεις όπως «γραμμή» και «σημείο», αυτός – και οι για αιώνες αναγνώστες του – αυταπατούνταν κάνοντας υποθέσεις σχετικά με προτάσεις που περιείχαν αυτές τις λέξεις. Για να δώσουμε ένα σχετικά απλό παράδειγμα, κατά την καθημερινή χρήση, η λέξη «γραμμή» υποδηλώνει ότι εάν σας δοθούν τρία ξεχωριστά σημεία σε μια γραμμή, ένα σημείο πρέπει να είναι μεταξύ των δύο άλλων. Αλλά όταν ορίζουμε τη «γραμμή» χρησιμοποιώντας την τυπική λογική, αποδεικνύεται ότι πρέπει επίσης να οριστεί αυτό το «μεταξύ», κάτι που ο Ευκλείδης παρέβλεψε. Η τυπική λογική κάνει κενά σαν αυτό εύκολα στον εντοπισμό.
Αυτή η συνειδητοποίηση δημιούργησε μια κρίση στη θεμελίωση των μαθηματικών. Εάν τα Στοιχεία – η Βίβλος των Μαθηματικών – περιείχαν λογικά λάθη, τι άλλα πεδία των μαθηματικών περιείχαν με τη σειρά τους λάθη; Τι γίνεται με τις επιστήμες όπως η φυσική που χτίστηκαν πάνω στα μαθηματικά;
Τα καλά νέα είναι ότι οι ίδιες λογικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την αποκάλυψη αυτών των σφαλμάτων θα μπορούσαν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη διόρθωσή τους. Οι μαθηματικοί άρχισαν να ανοικοδομούν τα θεμέλια των μαθηματικών από κάτω προς τα πάνω. Το 1889 ο Τζουζέπε Πεάνο ανέπτυξε αξιώματα για την αριθμητική και το 1899 ο Ντάβιντ Χίλμπερτ έκανε το ίδιο για τη γεωμετρία. Ο Χίλμπερτ περιέγραψε επίσης ένα πρόγραμμα για να τυποποιήσει το υπόλοιπο των μαθηματικών, με ειδικές προϋποθέσεις που κάθε τέτοια προσπάθεια πρέπει να ικανοποιεί, όπως:
Πληρότητα: Πρέπει να υπάρχει απόδειξη ότι όλες οι αληθείς μαθηματικοί ισχυρισμοί μπορούν να αποδειχθούν στο τυπικό σύστημα.
Αποφασιµότητα: Θα πρέπει να υπάρχει ένας αλγόριθμος για να αποφασιστεί το αληθές ή το ψευδές οποιουδήποτε μαθηματικού ισχυρισμού. (Αυτό είναι το Entscheidungsproblem ή πρόβλημα απόφασης για το οποίο γίνεται λόγο στην εργασία του Τούρινγκ.)
Η ανοικοδόμηση των μαθηματικών με τρόπο που ικανοποίησε αυτές τις προϋποθέσεις έγινε γνωστή ως το πρόγραμμα του Χίλμπερτ. Μέχρι τη δεκαετία του 1930, αυτό ήταν το επίκεντρο μιας κεντρικής ομάδας επιστημόνων της λογικής, μεταξύ των οποίων οι Χίμπερτ, Ράσελ, Κουρτ Γκέντελ, Τζον φον Νόιμαν, Αλόνζο Τσερτς και, φυσικά, ο Άλαν Τούρινγκ.
Το πρόγραμμα του Χίμπερτ σημείωσε πρόοδο σε δύο τουλάχιστον μέτωπα. Στο πρώτο μέτωπο, οι επιστήμονες της λογικής δημιούργησαν λογικά συστήματα που προσπάθησαν να αποδείξουν ότι οι προϋποθέσεις του Χίλμπερτ είναι ικανοποιήσιμες ή όχι.
Στο δεύτερο μέτωπο, οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν λογικές έννοιες για την ανοικοδόμηση των κλασσικών μαθηματικών. Για παράδειγμα, το αριθμητικό σύστημα του Πεάνο ξεκινάει με μια απλή συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση διαδοχής, η οποία αυξάνει οποιονδήποτε αριθμό κατά ένα. Χρησιμοποιεί τη συνάρτηση διαδοχής για να καθορίσει αναδρομικώς την προσθήκη, χρησιμοποιεί την προσθήκη για να καθορίσει αναδρομικά τον πολλαπλασιασμό κ.ο.κ., μέχρι να οριστούν όλες οι πράξεις της θεωρίας αριθμών. Στη συνέχεια χρησιμοποιεί αυτούς τους ορισμούς, μαζί με την τυπική λογική, για να αποδείξει τα θεωρήματα σχετικά με την αριθμητική.
Ο ιστορικός Τόμας Κουν παρατήρησε κάποτε ότι «στην επιστήμη, η καινοτομία εμφανίζεται με δυσκολία». Η λογική στην εποχή του προγράμματος του Χίλμπερτ ήταν μια ταραχώδης διαδικασία δημιουργίας και καταστροφής. Ένας επιστήμονας της λογικής θα δημιουργούσε ένα περίτεχνο σύστημα και ένας άλλος θα το έσπαζε.
Το προτιμώμενο εργαλείο καταστροφής ήταν η κατασκευή αυτοαναφορικών, παράδοξων ισχυρισμών που έδειξαν ότι τα αξιώματα από τα οποία προήλθαν ήταν αντιφατικά. Μια απλή μορφή αυτού του παράδοξου του ψεύτη είναι η πρόταση:
Αυτή η πρόταση είναι ψευδής.
Εάν είναι αλήθής τότε είναι ψευδής, και αν είναι ψευδής τότε είναι αληθής, οδηγώντας σε έναν ατελείωτο κύκλο αντίφασης με τον εαυτό της.
Ο Ράσελ έκανε την πρώτη αξιοσημείωτη χρήση του παράδοξου του ψεύτη στη μαθηματική λογική. Έδειξε ότι το σύστημα του Φρέγκε επέτρεψε να προκύψουν αυτο-αντιφατικά σύνολα:
Έστω R το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Εάν το R δεν είναι μέλος του εαυτού του, τότε ο ορισμός του υπαγορεύει ότι πρέπει να περιέχει τον εαυτό του, και αν περιέχει τον εαυτό του, τότε αντιφάσκει με τον δικό του ορισμό ως το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους.
Αυτό έγινε γνωστό ως το παράδοξο του Ράσελ και θεωρήθηκε ως ένα σοβαρό ελάττωμα στο επίτευγμα του Φρέγκε. (Ο ίδιος ο Φρέγκε ήταν συγκλονισμένος από αυτή την ανακάλυψη και απάντησε στον Ράσελ: «Η ανακάλυψή σας για την αντίφαση μου προκάλεσε τη μεγαλύτερη έκπληξη και, θα έλεγα σχεδόν, την ανησυχία, καθώς κλόνισε τη βάση στην οποία είχα σκοπό να οικοδομήσω την αριθμητική μου».)
Ο Ράσελ και ο συνάδελφός του Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ επιχείρησαν την πιο φιλόδοξη απόπειρα ολοκλήρωσης του προγράμματος του Χίλμπερτ με το Principia Mathematica που δημοσιεύθηκε σε τρεις τόμους μεταξύ 1910 και 1913. Η μέθοδος του Principia ήταν τόσο λεπτομερής που χρειάστηκαν πάνω από 300 σελίδες για να αποδείξει ότι 1 + 1 = 2.
Οι Ράσελ και Ουάιτχεντ προσπάθησαν να επιλύσουν το παράδοξο του Φρέγκε εισάγοντας αυτό που ονόμαζαν θεωρία τύπων. Η ιδέα ήταν να χωριστούν οι τυπικές γλώσσες σε πολλαπλά επίπεδα ή τύπους. Κάθε επίπεδο θα μπορούσε να κάνει αναφορά σε χαμηλότερα επίπεδα, αλλά όχι στα δικά του ή σε υψηλότερα επίπεδα. Αυτό επιλύθηκε από τα αυτοαναφορικά παράδοξα με την -στην πράξη- απαγόρευση της αυτοαναφοράς. (Αυτή η λύση δεν ήταν δημοφιλής στους επιστήμονες της λογικής, αλλά επηρέασε την επιστήμη των υπολογιστών – οι περισσότερες σύγχρονες γλώσσες υπολογιστών έχουν χαρακτηριστικά εμπνευσμένα από τη θεωρία των τύπων).
Τα αυτοαναφορικά παράδοξα κατέδειξαν τελικά ότι το πρόγραμμα του Χίλμπερτ δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι επιτυχές. Το πρώτο χτύπημα ήρθε το 1931, όταν ο Γκέντελ δημοσίευσε το διάσημο πλέον θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο απέδειξε ότι κάθε σταθερό λογικό σύστημα αρκετά ισχυρό για να συμπεριλάβει την αριθμητική πρέπει επίσης να περιέχει ισχυρισμούς που είναι αληθείς αλλά δεν μπορούν να αποδειχθούν ως αληθείς. (Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ είναι ένα από τα λίγα λογικά αποτελέσματα που έχει γίνει ευρέως διαδεδομένο, χάρη σε βιβλία όπως τα Gödel, Escher, Bach και The Emperor’s New Mind).
Το τελικό χτύπημα ήρθε όταν ο Τούρινγκ και ο Αλόνζο Τσερτς ανεξάρτητα απέδειξαν ότι δεν μπορούσε να υπάρξει κανένας αλγόριθμος που να καθορίζει αν ένας αυθαίρετος μαθηματικός ισχυρισμός ήταν αληθής ή ψευδής. (Ο Τσερτς το έκανε αυτό με την εφεύρεση ενός εντελώς διαφορετικού συστήματος που ονομάζεται λογισμός λάμδα, το οποίο αργότερα θα εμπνεύσει γλώσσες υπολογιστών όπως η Lisp.) Η απάντηση στο πρόβλημα της απόφασης ήταν αρνητική.
Η βασική ιδέα του Τούρινγκ ήρθε στην πρώτη ενότητα της περίφημης μελέτης από το 1936, On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem. Προκειμένου να διατυπώσει αυστηρά το πρόβλημα της απόφασης (Entscheidungsproblem), ο Τούρινγκ δημιούργησε πρώτα ένα μαθηματικό μοντέλο του τι σημαίνει να είσαι υπολογιστής (σήμερα, μηχανές που ταιριάζουν σε αυτό το μοντέλο είναι γνωστές ως «καθολικές μηχανές Τούρινγκ»). Όπως το περιγράφει ο επιστήμονας της λογικής Μαρτίν Ντέιβις:
Ο Τούρινγκ γνώριζε ότι ένας αλγόριθμος καθορίζεται συνήθως από μια λίστα κανόνων που ένα άτομο μπορεί να ακολουθήσει με ακριβή μηχανικό τρόπο, όπως μια συνταγή σε ένα βιβλίο μαγειρικής. Ήταν σε θέση να δείξει ότι ένα τέτοιο άτομο θα μπορούσε να περιοριστεί σε μερικές απλές βασικές ενέργειες χωρίς να αλλάξει το τελικό αποτέλεσμα του υπολογισμού.
Στη συνέχεια, αποδεικνύοντας ότι καμία μηχανή που εκτελεί μόνο αυτές τις βασικές ενέργειες δεν θα μπορούσε να καθορίσει εάν ένα δεδομένο προτεινόμενο συμπέρασμα προέρχεται από συγκεκριμένες λογικές βάσεις χρησιμοποιώντας τους κανόνες του Φρέγκε, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος για το Entscheidungsproblem.
Ως υποπροϊόν, βρήκε ένα μαθηματικό μοντέλο μιας υπολογιστικής μηχανής γενικής χρήσης.
Στη συνέχεια, ο Τούρινγκ έδειξε πώς ένα πρόγραμμα θα μπορούσε να αποθηκευτεί μέσα σε έναν υπολογιστή παράλληλα με τα δεδομένα πάνω στα οποία λειτουργεί. Με σημερινό λεξιλόγιο, θα λέγαμε ότι εφευρέθηκε η αρχιτεκτονική «αποθηκευμένου προγράμματος» στην οποία βασίζονται οι περισσότεροι σύγχρονοι υπολογιστές:
Πριν από τον Τούρινγκ, η γενική υπόθεση ήταν ότι κατά την ενασχόληση με τέτοιες μηχανές οι τρεις κατηγορίες – μηχανή, πρόγραμμα και δεδομένα – ήταν εντελώς ξεχωριστές οντότητες. Το μηχάνημα ήταν ένα φυσικό αντικείμενο. Σήμερα θα το ονομάζαμε υλικό (hardware). Το πρόγραμμα ήταν το σχέδιο για έναν υπολογισμό, ίσως ενσωματωμένο σε διάτρητες κάρτες ή συνδέσεις καλωδίων σε έναν πίνακα. Τέλος, τα δεδομένα ήταν η αριθμητική καταχώρηση. Η καθολική μηχανή του Τούρινγκ έδειξε ότι η διάκριση μεταξύ αυτών των τριών κατηγοριών είναι μια ψευδαίσθηση.
Αυτή ήταν η πρώτη αυστηρή απόδειξη ότι οποιαδήποτε υπολογιστική λογική που θα μπορούσε να κωδικοποιηθεί σε υλικό (hardware) θα μπορούσε επίσης να κωδικοποιηθεί σε λογισμικό (software). Η αρχιτεκτονική που περιέγραψε ο Τούρινγκ έγινε αργότερα γνωστή ως «αρχιτεκτονική φον Νόιμαν» – αλλά οι σύγχρονοι ιστορικοί γενικά συμφωνούν ότι προέρχεται από τον Τούρινγκ, όπως προφανώς έκανε και ο ίδιος ο φον Νόιμαν.
Αν και σε τεχνικό επίπεδο το πρόγραμμα του Χίλμπερτ ήταν αποτυχία, οι προσπάθειες που έγιναν στην πορεία έδειξαν ότι μεγάλα τμήματα των μαθηματικών θα μπορούσαν να κατασκευαστούν από τη λογική. Και μετά από τις ιδέες των Σάνον και Τούρινγκ – που δείχνουν τις συνδέσεις μεταξύ ηλεκτρονικής, λογικής και υπολογιστών – ήταν πλέον δυνατή η εξαγωγή αυτού του νέου εννοιολογικού μηχανισμού στον σχεδιασμό ηλεκτρονικών υπολογιστών.
Κατά τη διάρκεια του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου αυτό το θεωρητικό έργο τέθηκε σε εφαρμογή, όταν κυβερνητικά εργαστήρια προσέλαβαν μεγάλο αριθμό από την αφρόκρεμα των επιστημόνων της λογικής. Ο Φον Νόιμαν εντάχθηκε στο έργο σχεδιασμού της ατομικής βόμβας στο Λος Άλαμος, όπου εργάστηκε στο σχεδιασμό υπολογιστών για να υποστηρίξει την έρευνα στον τομέα της φυσικής. Το 1945 έγραψε τις προδιαγραφές του EDVAC, του πρώτου υπολογιστή αποθηκευμένου προγράμματος, βασισμένου στη λογική, που θεωρείται γενικά ο καθοριστικός οδηγός για τον σύγχρονο σχεδιασμό ηλεκτρονικών υπολογιστών.
Ο Τούρινγκ εντάχθηκε σε μυστική μονάδα στο Bletchley Park, βορειοδυτικά του Λονδίνου, όπου βοήθησε στον σχεδιασμό ηλεκτρονικών υπολογιστών που χρησίμευαν για το σπάσιμο των γερμανικών κωδίκων. Η πιο διαρκής συμβολή του στην πρακτική σχεδίαση ηλεκτρονικών υπολογιστών ήταν η προδιαγραφή της ACE ή Αυτόματης Υπολογιστικής Μηχανής.
Δεδομένου ότι οι πρώτοι υπολογιστές βασίζονται σε αρχιτεκτονικές λογικής του Μπουλ και αποθηκευμένου προγράμματος, η ACE και ο EDVAC ήταν παρόμοιοι σε μεγάλο βαθμό. Αλλά είχαν επίσης αξιοσημείωτες διαφορές, μερικές από τις οποίες άνοιξαν τον δρόμο για σύγχρονες συζητήσεις πάνω στον σχεδιασμό ηλεκτρονικών υπολογιστών. Τα προτιμώμενα σχέδια του Φον Νόιμαν ήταν παρόμοια με τους σύγχρονους επεξεργαστές CISC («σύνθετοι»), που μετετρέπουν την πλούσια λειτουργικότητα σε υλικό. Ο σχεδιασμός του Τούρινγκ έμοιαζε περισσότερο στους σύγχρονους επεξεργαστές RISC («μειωμένοι»), ελαχιστοποιώντας την πολυπλοκότητα του υλικού και στέλντοντας περισσότερη δουλειά στο λογισμικό.
Ο Φον Νόιμαν πίστευε ότι ο προγραμματισμός υπολογιστών θα ήταν μια κουραστική, γραφειοκρατική δουλειά. Ο Τούρινγκ, αντιθέτως, δήλωσε ότι ο προγραμματισμός «πρέπει να είναι πολύ συναρπαστικός. Δεν χρειάζεται να υπάρχει πραγματικός κίνδυνος να γίνει ποτέ μια κουραστική δουλειά, γιατί όλες οι διαδικασίες που είναι αρκετά μηχανικές μπορεί να επιστρέφουν στην ίδια τη μηχανή».
Από τη δεκαετία του ‘40, ο προγραμματισμός έχει γίνει πολύ πιο εξεζητημένος. Ένα πράγμα που δεν έχει αλλάξει είναι ότι εξακολουθεί να αποτελείται κυρίως από προγραμματιστές που καθορίζουν τους κανόνες που πρέπει να ακολουθούν οι υπολογιστές. Μιλώντας με φιλοσοφικούς όρους θα λέγαμε ότι ο προγραμματισμός ακολούθησε την παράδοση της παραγωγικής λογικής, τον κλάδο της λογικής που συζητήθηκε παραπάνω, ο οποίος ασχολείται με τη χρήση των συμβόλων σύμφωνα με τους τυπικούς κανόνες.
Την περασμένη περίπου δεκαετία, ο προγραμματισμός άρχισε να αλλάζει λόγω της αυξανόμενης δημοτικότητας της μηχανικής μάθησης, η οποία περιλαμβάνει τη δημιουργία πλαισίων για να μάθουν οι μηχανές μέσω στατιστικών συμπερασμάτων. Αυτό έχει φέρει τον προγραμματισμό πιο κοντά στον άλλο κύριο κλάδο της λογικής, την επαγωγική λογική, η οποία ασχολείται με την επαγωγή κανόνων από συγκεκριμένες περιπτώσεις.
Οι σημερινές πιο ελπιδοφόρες τεχνικές εκμάθησης μηχανών χρησιμοποιούν νευρωνικά δίκτυα, τα οποία εφευρέθηκαν για πρώτη φορά τη δεκαετία του ’40 από τους Warren McCulloch και Walter Pitts, των οποίων η ιδέα ήταν να αναπτυχθεί ένας λογισμός για νευρώνες ο οποίος θα μπορούσε, όπως η λογική του Μπολ, να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή κυκλωμάτων υπολογιστών. Τα νευρωνικά δίκτυα παρέμειναν εσωτερικά μέχρι δεκαετίες αργότερα, όταν συνδυάστηκαν με στατιστικές τεχνικές, που τους επέτρεψαν να βελτιωθούν καθώς τροφοδοτούνταν με περισσότερα δεδομένα. Πρόσφατα, καθώς οι υπολογιστές έχουν γίνει όλο και πιο έμπειροι στον χειρισμό μεγάλων συνόλων δεδομένων, αυτές οι τεχνικές έχουν αποφέρει αξιοσημείωτα αποτελέσματα. Προγραμματισμός στο μέλλον θα σημαίνει πιθανότατα να εκθέτετε νευρωνικά δίκτυα στον κόσμο και να τα αφήνετε να μάθουν.
Αυτό θα ήταν μια ταιριαστή δεύτερη πράξη στην ιστορία των υπολογιστών. Η λογική ξεκίνησε ως ένας τρόπος να κατανοήσουμε τους νόμους της σκέψης. Στη συνέχεια βοήθησε στη δημιουργία μηχανών που θα μπορούσαν να αιτιολογούν σύμφωνα με τους κανόνες της παραγωγικής λογικής. Σήμερα, η παραγωγική και η επαγωγική λογική συνδυάζονται για να δημιουργήσουν μηχανές που συμπεραίνουν λογικά και μαθαίνουν ταυτόχρονα. Αυτό που ξεκίνησε, για να χρησιμοποιήσουμε τα λόγια του Μπουλ, με μια έρευνα «πάνω στη φύση και τη σύσταση του ανθρώπινου νου», θα μπορούσε να οδηγήσει στη δημιουργία νέων μυαλών – τεχνητών μυαλών – που θα μπορούσαν κάποια στιγμή να ταιριάξουν ή και να υπερβούν το δικό μας.
Το κείμενο δημοσιεύθηκε στο ένθετο του Νόστιμον Ήμαρ στον “Δρόμο”, τo Σάββατο 24.2.2018
